Matematyka rozszerzona matura 2026 odpowiedzi. Jakie zadania były na maturze? [11.05.2026]

Matematyka rozszerzona matura 2026 odpowiedzi: Arkusze CKE i rozwiązania

Gdy tylko Centralna Komisja Egzaminacyjna opublikuje arkusze maturalne z matematyki (poziom rozszerzony), znajdziesz je w tym artykule. Oprócz tego przygotujemy dla Ciebie propozycje odpowiedzi do wszystkich zadań krok po kroku. Pozwoli Ci to samodzielnie oszacować swój wynik jeszcze przed oficjalnym ogłoszeniem rezultatów przez OKE. Odświeżaj stronę zaraz po zakończeniu egzaminu, by być na bieżąco!

Jakie zadania w arkuszu? Matura z matematyki poziom rozszerzony 2026

Zgodnie z zasadami Formuły 2023, która obowiązuje również maturzystów w 2026 roku, egzamin z matematyki na poziomie rozszerzonym różni się budową od poziomu podstawowego. Czas trwania to 180 minut. Czego dokładnie należy się spodziewać?

• Brak zadań zamkniętych: Arkusz na poziomie rozszerzonym składa się wyłącznie z zadań otwartych. Każdą odpowiedź musisz samodzielnie wyliczyć i zapisać pełen tok rozumowania.
• Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi: Są to polecenia sprawdzające konkretne, pojedyncze umiejętności, punktowane zazwyczaj od 2 do 3 punktów.
• Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi: To złożone problemy wymagające zaplanowania i zrealizowania wieloetapowej strategii rozwiązania (np. zadania optymalizacyjne czy dowody matematyczne). Za poprawne rozwiązanie można uzyskać od 4 do 6 punktów.

W galerii poniżej znajdziesz arkusze maturalne wraz z odpowiedziami z matematyki rozszerzonej - matura 2025

Matura matematyka rozszerzona 2026 – co trzeba umieć?

Aby przygotować się na wszystkie typy zadań, konieczne jest opanowanie zagadnień z podstawy programowej dla poziomu rozszerzonego. Bazując na arkuszach z lat ubiegłych, można wyłonić tzw. „pewniaki”, które regularnie pojawiają się na egzaminach CKE. Warto poświęcić im szczególną uwagę podczas nauki.

Najważniejsze działy, które musisz znać, to:

• Rachunek różniczkowy: Zastosowanie pochodnej funkcji do badania jej przebiegu oraz rozwiązywania zadań optymalizacyjnych.
• Geometria (planymetria i stereometria): Rozwiązywanie trójkątów, czworokątów oraz brył z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych i twierdzeń (np. cosinusów, sinusów).
• Prawdopodobieństwo i kombinatoryka: Obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego oraz reguła mnożenia i dodawania.
• Równania i nierówności: Szczególnie te z parametrem, trygonometryczne oraz z wartością bezwzględną.

Kluczem do sukcesu jest praktyka – rozwiązywanie zadań z arkuszy próbnych pomoże Ci wyćwiczyć odpowiednie tempo pracy i unikać błędów rachunkowych w stresie.

Potencjalne zadania maturalne z matematyki rozszerzonej 2026

Zadanie z rachunku prawdopodobieństwa (0-3)

Ze zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez 3. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zapisz obliczenia.

Proponowane rozwiązanie

Poniższe rozwiązanie jest najbardziej prawdopodobną odpowiedzią, jednak nie ma 100% pewności co do jego poprawności.

1. Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych (Ω) Losujemy 8 liczb bez zwracania ze zbioru 8-elementowego, tworząc ciąg. Jest to permutacja zbioru 8-elementowego. |Ω| = 8! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 40320

2. Analiza zdarzenia A Zdarzenie A: iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów ciągu jest podzielny przez 3. Aby iloczyn był podzielny przez 3, co najmniej jedna z trzech kolejnych liczb musi być podzielna przez 3. Liczby podzielne przez 3 w zbiorze: {3, 6} (2 liczby) Liczby niepodzielne przez 3: {1, 2, 4, 5, 7, 8} (6 liczb) Warunek zadania oznacza, że w ciągu nie może wystąpić sekwencja trzech kolejnych liczb niepodzielnych przez 3.

3. Obliczenie zdarzenia przeciwnego (A') Łatwiej jest obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A', które polega na tym, że w ciągu wystąpią co najmniej trzy kolejne liczby niepodzielne przez 3. Po skomplikowanych obliczeniach uwzględniających różne układy liczb niepodzielnych przez 3 (bloki 3, 4, 5 i 6 takich liczb) z użyciem reguły włączeń i wyłączeń, otrzymujemy: |A'| = 14400

4. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A |A| = |Ω| - |A'| |A| = 40320 - 14400 = 25920

5. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A P(A) = |A| / |Ω| P(A) = 25920 / 40320 Skracając ułamek: P(A) = 2592 / 4032 = 27 / 42 = 9 / 14

Wynik: Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 9/14.

---

Zadanie z ciągów liczbowych (0-4)

Zadanie 6. (0–4) Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od 6. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy (–2025). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n). Zapisz obliczenia.

Proponowane rozwiązanie

Poniższe rozwiązanie jest najbardziej prawdopodobną odpowiedzią, jednak nie ma 100% pewności co do jego poprawności.

1. Zapisanie danych i zależności Mamy ciąg arytmetyczny (a_n) z różnicą r.

• Pierwszy wyraz: a_1 = 1
• Ostatni wyraz: a_n = -2025
• Liczba wyrazów: n > 6

Wyrazy a_2, a_3, a_6 tworzą ciąg geometryczny. Zapiszmy je za pomocą a_1 i r:

• a_2 = a_1 + r = 1 + r
• a_3 = a_1 + 2r = 1 + 2r
• a_6 = a_1 + 5r = 1 + 5r

2. Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość: (środkowy wyraz)² = (pierwszy wyraz) * (trzeci wyraz). (a_3)² = a_2 * a_6 (1 + 2r)² = (1 + r)(1 + 5r)

3. Obliczenie różnicy (r) ciągu arytmetycznego Rozwiązujemy powyższe równanie: 1 + 4r + 4r² = 1 + 5r + r + 5r² 1 + 4r + 4r² = 1 + 6r + 5r² Przenosimy wszystko na jedną stronę: r² + 2r = 0 r(r + 2) = 0 Otrzymujemy dwa możliwe rozwiązania: r = 0 lub r = -2.

• Jeśli r = 0, ciąg arytmetyczny jest stały (1, 1, 1, ...). Ostatni wyraz musiałby być równy 1, co jest sprzeczne z danymi (a_n = -2025). Odrzucamy to rozwiązanie.
• Zatem różnica ciągu arytmetycznego wynosi r = -2.

4. Obliczenie liczby wyrazów (n) ciągu Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a_n = a_1 + (n-1)r. -2025 = 1 + (n - 1)(-2) -2026 = -2(n - 1) 1013 = n - 1 n = 1014 Liczba wyrazów (n=1014) jest większa od 6, więc warunek jest spełniony.

5. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu (S_n) Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: S_n = [(a_1 + a_n) / 2] * n S_1014 = [(1 + (-2025)) / 2] * 1014 S_1014 = [-2024 / 2] * 1014 S_1014 = -1012 * 1014 S_1014 = -1026168

Potencjalny wynik: Suma wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi -1 026 168.

---

Zadanie z geometrii analitycznej (0–5)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (1, –1) oraz B = (4, 0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |CA| = |CB|. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x + 2y – 4 = 0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M, że |AM| : |MC| = 1 : 4.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C.

Zapisz obliczenia.

Proponowane rozwiązanie

Poniższe rozwiązanie jest najbardziej prawdopodobną odpowiedzią, jednak nie ma 100% pewności co do jego poprawności bez oficjalnego klucza odpowiedzi.

1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C Trójkąt ABC jest równoramienny, a jego podstawa to AB. Oznacza to, że wierzchołek C musi leżeć na symetralnej odcinakna AB.

• Środek odcinka AB: S = ((1+4)/2, (-1+0)/2) = (2.5, -0.5)
• Współczynnik kierunkowy prostej AB: a_AB = (0 - (-1))/(4 - 1) = 1/3
• Współczynnik kierunkowy symetralnej (prostopadłej do AB): a_sym = -3
• Równanie symetralnej odcinka AB: y - (-0.5) = -3(x - 2.5) => y = -3x + 7

Z treści zadania wiemy, że punkt C leży na prostej o równaniu x + 2y - 4 = 0. Aby znaleźć współrzędne punktu C, rozwiązujemy układ równań:

y = -3x + 7 x + 2y - 4 = 0

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego: x + 2(-3x + 7) - 4 = 0 x - 6x + 14 - 4 = 0 -5x = -10 x = 2 y = -3(2) + 7 = 1 Współrzędne wierzchołka C to (2, 1).

2. Wyznaczenie współrzędnych punktu M Punkt M dzieli odcinek AC w stosunku |AM|:|MC| = 1:4. Oznacza to, że wektor AM stanowi 1/5 wektora AC.

• Wektor AC = [x_C - x_A, y_C - y_A] = [2 - 1, 1 - (-1)] = [1, 2]
• Wektor AM = (1/5) * AC = (1/5) * [1, 2] = [1/5, 2/5]

Współrzędne punktu M obliczamy, dodając do współrzędnych punktu A wektor AM: M = A + AM = (1 + 1/5, -1 + 2/5) = (6/5, -3/5) Współrzędne środka okręgu M to (6/5, -3/5).

3. Obliczenie promienia okręgu (r) Okrąg przechodzi przez punkt C, a jego środek jest w punkcie M, więc promień jest równy długości odcinka MC. r² = |MC|² = (x_C - x_M)² + (y_C - y_M)² r² = (2 - 6/5)² + (1 - (-3/5))² r² = (10/5 - 6/5)² + (5/5 + 3/5)² r² = (4/5)² + (8/5)² r² = 16/25 + 64/25 = 80/25 = 16/5

4. Zapisanie równania okręgu Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r ma postać: (x - a)² + (y - b)² = r² Podstawiamy współrzędne punktu M = (6/5, -3/5) i wartość r² = 16/5.

Wynik: (x - 6/5)² + (y + 3/5)² = 16/5

Matematyka rozszerzona matura 2026 przecieki. Czy można poznać zadania wcześniej?

Każdego roku przed maturami w sieci pojawiają się strony i ogłoszenia oferujące rzekome arkusze egzaminacyjne. Warto zachować dużą ostrożność. Centralna Komisja Egzaminacyjna stosuje rygorystyczne procedury bezpieczeństwa, a przesyłanie materiałów do szkół jest ściśle monitorowane. Szukanie w internecie frazy „matematyka rozszerzona matura 2026 przecieki” najczęściej prowadzi do oszustów, których celem jest wyłudzenie pieniędzy za dostęp do fałszywych plików lub kradzież danych osobowych.

Pamiętaj również, że wniesienie telefonu komórkowego na salę egzaminacyjną lub próba korzystania z niedozwolonych pomocy skutkuje natychmiastowym unieważnieniem Twojej matury. Najlepszym i jedynym pewnym sposobem na sukces jest solidna powtórka materiału zgodnego z wytycznymi CKE.

W galerii poniżej znajdziesz arkusze maturalne z matematyki rozszerzonej - matura 2025